Table 1
Representation of Pressure and Air Movement of the Fundamental Tone of a Stopped (Closed at One End) Pipe Tube
Representation of a Standing Wave in a Tube Open at Both Ends – 2nd Harmonic (Octave of the Fundamental Tone of the Tube)
This representation is meant to provide a fundamental understanding of oscillation processes in a pipe tube.
While in progressing waves the adjacent parts are not in the same oscillation state simultaneously but rather sequentially, which results in the progression of the waves, the essence of a standing wave or oscillation is that its closely adjacent particles have the same oscillation state simultaneously.
In a standing wave, there are certain fixed points in the tube where the back-and-forth movement of the air is strongest, where the movement reaches its maximum values. These points are called antinodes. Additionally, there are points where no or minimal oscillation occurs. These points, where the movement is at a minimum, are called nodes (see page 10). In the diagram, it can be seen that antinodes and nodes alternate. At the open ends, there is an antinode at each end, and it is evident that here, where the air inside the tube communicates with the outside air, no over- or under-pressure can occur. A further antinode is located in the center of the tube, while between these three antinodes are the two nodes that lie at 3⁄4 of the wavelength.
In this case, the wavelength λ is almost equal to the length of the tube l. Since the pressure equilibrium between the inside and outside is slightly outside the ends of the tube, The tube must be slightly shorter than the wavelength λ. This deviation is called the end or mouth correction KF (Fine). Its size for one end is given in a table on page 16. The wavelength λ in the diagram is 200 mm, which corresponds to a tone between gis’ and a’ at room temperature (at 0°C, it would be gis’).
The duration of a single vibration is called the period and is denoted by T. In this case, the period T is approximately 1⁄1700 seconds (T = 1⁄1700 sec.). This short time is divided into four parts in the diagram (1⁄4T, 1⁄2T, 3⁄4T, and T). The eleven sinusoidal curves show the temporal progression of the oscillation for eleven different points along the tube during one period T. The starting point of the representation is chosen as the time when the oscillation passes through the rest position. During T⁄4T, T⁄2T, 3⁄4T and T, the oscillating movement occurs, and at time T, the same oscillatory state as at t = 0 is reached again. In this example, the period T lasts 1⁄1700 seconds, with 1700 oscillations being completed in one second, so the frequency of the oscillation is 1700 Hertz (Hz). One can see in the diagram how the air moves symmetrically to both sides of each node line. Since, in this example, a full wavelength is enclosed by the tube, which is not always the case, the sinusoidal lines representing the temporal progression of the oscillations are the same at both ends of the tube.
The amplitudes of the sinusoidal oscillations are exaggerated for clarity. In reality, the amplitudes are so small that they would not be noticeable in a diagram. They move in the order of a few hundred-thousandths of a millimeter.
Representation of a Standing Wave in a Tube Open at Both Ends
Original German
Tafel 1
Darstellung von Druck und Luftbewegung des Grundtons einer gedackten (an einem Ende geschlossenen) Pfeifenröhre
Darstellung einer stehenden Welle in einer an beiden Enden offenen Röhre – 2. Teilton (Oktave des Grundtons der Röhre)
Diese Darstellung soll eine prinzipielle Vorstellung von Schwingungsvorgängen in einer Pfeifenröhre vermitteln.
Während bei fortschreitenden Wellen die benachbarten Teile sich nicht gleichzeitig, sondern nacheinander in einem bestimmten Schwingungszustand befinden, wodurch eben die Fortschreitung der Wellen zustande kommt, ist es das Wesen der stehenden Welle oder Schwingung, dass ihre eng benachbarten Teilchen jeden Schwingungszustand gleichzeitig haben.
Bei einer stehenden Welle gibt es bestimmte feststehende Stellen in der Röhre, an denen die hin- und herschwingende Bewegung der Luft am stärksten ist, an denen also die Bewegung maximale Werte erreicht. Man nennt diese Stellen Schwingungsbäuche. Außerdem gibt es Stellen, an denen keine oder nur minimale Schwingungsbewegung stattfindet. Diese Stellen, an denen die Bewegung ein Minimum hat, nennt man Schwingungsknoten (s. S. 10). In der Abbildung ist zu sehen, dass Bäuche und Knoten miteinander abwechseln. An den offenen Enden befindet sich jeweils ein Bauch, und es ist einleuchtend, dass hier, wo die in der Röhre eingeschlossene Luft mit der Außenluft kommuniziert, kein Über- oder Unterdruck auftreten kann. Ein weiterer Bauch befindet sich in der Mitte der Röhre, während zwischen diesen drei Bäuchen die beiden Knoten bei der Hälfte der Wellenlänge liegen.
Im vorliegenden Fall ist die Wellenlänge λ (Lambda) fast gleich der Röhrenlänge l. Da der Druckausgleich zwischen innen und außen ein klein wenig außerhalb der Röhrenenden liegt, Die Röhre muss etwas kürzer als die Wellenlänge λ sein. Man nennt diese Abweichung die End- oder Mündungskorrektur KF (Fine). Ihre Größe für ein Ende ist in einer Tabelle auf Seite 16 angegeben. Die Wellenlänge λ beträgt in der Zeichnung 200 mm, was bei Zimmertemperatur einem Ton zwischen gis’ und a’ entspricht (bei 0° wäre es gis’).
Die Dauer einer einzigen Schwingung nennt man die Periode und bezeichnet sie mit T. Im vorliegenden Fall beträgt die Periode T etwa 1⁄1700 Sekunden (T = 1⁄1700 sec.). Diese kurze Zeit ist bei der zeichnerischen Darstellung in vier Teile geteilt (1⁄4T, 1⁄2T, 3⁄4T, undT). Die elf sinusförmigen Kurven zeigen für elf verschiedene Punkte der Röhre den zeitlichen Ablauf der Schwingung während einer Periode T an. Als Anfang der Darstellung ist die Zeit gewählt, wo die Schwingung durch die Ruhelage geht. Über die Dauer von T geht die schwingende Bewegung, und nach der Periode T wird wieder derselbe Schwingungszustand wie in t = 0 erreicht. Da in diesem Beispiel die Periode T 1⁄1700 Sekunden dauert, werden in einer Sekunde 1700 Schwingungen ausgeführt, sodass man sagt, die Frequenz der Schwingung beträgt 1700 Hertz (Hz). Man sieht in der Zeichnung, wie sich die Luft nach beiden Seiten symmetrisch zu jeder Knotenlinie bewegt. Da im vorliegenden Beispiel eine ganze Wellenlänge von der Röhre eingeschlossen ist, was durchaus nicht immer der Fall ist, sind die den zeitlichen Verlauf der Schwingungen darstellenden Sinuslinien an den beiden Enden der Röhre gleich.
Die Schwingungsweiten (Amplituden) der sinusförmigen Ausschläge sind wegen der Anschaulichkeit übertrieben dargestellt. In Wirklichkeit sind die Amplituden so klein, dass man sie in einer Zeichnung gar nicht erkennen würde. Sie bewegen sich in einer Größenordnung von durchschnittlich einigen hunderttausendstel Millimetern.
Tafel 2
Darstellung einer stehenden Welle in einer an beiden Enden offenen Röhre